Existence and uniqueness results for BSDEs with jumps: the whole nine yards

This paper is devoted to obtaining a wellposedness result for multidimensional BSDEs with possibly unbounded random time horizon and driven by a general martingale in a filtration only assumed to satisfy the usual hypotheses, i.e. the filtration may be stochastically discontinuous. We show that for stochastic Lipschitz generators and unbounded, possibly infinite, time horizon, these equations admit a unique solution in appropriately weighted spaces. Our result allows in particular to obtain a wellposedness result for BSDEs driven by discrete--time approximations of general martingales.Comment: 48 pages, final version, forthcoming in the Electronic Journal of Probabilit

Stability results for martingale representations: the general case

In this paper, we obtain stability results for martingale representations in a very general framework. More specifically, we consider a sequence of martingales each adapted to its own filtration, and a sequence of random variables measurable with respect to those filtrations. We assume that the terminal values of the martingales and the associated filtrations converge in the extended sense, and that the limiting martingale is quasi--left--continuous and admits the predictable representation property. Then, we prove that each component in the martingale representation of the sequence converges to the corresponding component of the martingale representation of the limiting random variable relative to the limiting filtration, under the Skorokhod topology. This extends in several directions earlier contributions in the literature, and has applications to stability results for backward SDEs with jumps and to discretisation schemes for stochastic systems.Comment: 55 pages, revised versio

Rückwärts-stochastische Differentialgleichungen mit Sprüngen sind stabil

A backward stochastic differential equation is a stochastic differential equation whose terminal value is known, in contrast to a (forward) stochastic differential equation whose initial value is known, and whose solution has to be adapted to a given filtration. The main aim of this thesis is to provide the suitable framework for the stability of stochastic differential equations with jumps, hereinafter BSDEs or BSDE when we refer to a single object. With the term stability we understand the continuity of the operator that maps the standard data of a BSDE, a set which among others includes the terminal value of the BSDE and the filtration with respect to which the solution has to be adapted, to its solution. In other words, the stability property allows to obtain an approximation of the solution of the BSDE under interest, once we determine an approximation of the standard data of the BSDE under interest. In this thesis we provide a general wellposedness result of multidimensional BSDEs with stochastic Lipschitz generator and which is driven by a possibly stochastically discontinuous square-integrable martingale. The time horizon can be infinite and as already implicitly has been stated, the right-continuous filtration is allowed to be stochastically discontinuous. Moreover, we provide a framework under which the stability property of BSDEs is verified. This framework allows for both continuous-time and discrete-time L2 −type approximations, which can turn out to be particularly useful for the well-posedness of numerical schemes for BSDEs. These results are presented in the second and the fourth chapter of this thesis. In the third chapter the stability of martingale representations is obtained, a result which lies at the core of the stability property of BSDEs. The property of the stability of martingale representations is not only a useful tool for our current needs, but it is also an interesting result on its own. Roughly speaking, it amounts to the convergence of the spaces generated by a convergent sequence of stochastic integrators as well as of their corresponding orthogonal spaces. Apart from these main results, a series of other results have been obtained, which either improve or complement classical ones. The most interesting of them is of purely analytic nature. It provides a characterisation of the weak-convergence of finite measures on the positive real-line by means of relatively compact sets of the Skorokhod space endowed with the J1 −topology. We remain in the Skorokhod space, where we refine a classical result on convergence of the jump-times of a J1 −convergent sequence. More precisely, we deal with the case of a multidimensional J1−convergent sequence and we prove that the times that the heights of the jumps lie in a suitable fixed set form a convergent sequence in the extended positive real-line. We proceed with the theory of Young functions, where the contribution amounts to the following result. We prove that the conjugate Young function of the composition of a moderate Young function with R+ 3 x 7→ 2 1 x2 ∈ R+ is also a moderate Young function with further nice properties. Finally, a new inequality regarding generalised inverses complements a classical one.Eine rückwärts-stochastische Differentialgleichung (BSDE) ist eine stochastische Differentialgleichung, dessen Endwert gegeben ist. Dies steht im Gegensatz zu vorwärts-stochastischen Differentialgleichungen, bei denen der Anfangswert gegeben ist und die Lösung an eine Filtration angepasst werden muss. Ziel dieser Arbeit ist, die mathematischen Grundlagen für die Stabilität von stochastischen Differentialgleichungen mit Sprüngen zu formulieren. Unter Stabilität verstehen wir hier die Stetigkeit des Operators, welcher die Daten der BSDE – diese beinhalten u.a. den Endwert und die entsprechende Filtration – auf ihre Lösung abbildet. In anderen Worten ermöglicht die Stabilitätseigenschaft, eine Approximation der Lösung der BSDE zu erhalten, sobald wir eine Approximation der Daten der BSDE haben. Die vorliegende Arbeit beinhaltet ein allgemeines Resultat zur Wohlgestelltheit von mehrdimensionalen BSEDs mit stochastischem Lipschitz Generator, die von einem möglicherweise stochastischen und unstetigen aber integrierbaren Martingal gesteuert wird. Wir erlauben einen unendlichen Zeithorizont sowie stochastische Unstetigkeiten in der rechtsstetigen Filtration. Darüber hinaus analysieren wir Bedingungen unter der die Stabilitätseigenschaft der BSDE erfüllt ist. Dies erlaubt sowohl zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete L2−Approximationen, welche speziell für die Wohlgestelltheit numerischer Verfahren für BSDEs von Nutzen sein kann. Die entsprechenden Resultate befinden sich im zweiten und vierten Kapitel dieser Arbeit. Im dritten Kapitel wird die Stabilität der Martingal Darstellungen gezeigt. Diese Eigenschaft liefert nicht nur ein für diese Arbeit wichtiges Hilfsmittel sondern stellt an sich schon ein interessantes Ergebnis in Hinblick auf die Konvergenz von Räumen, die durch konvergente Folgen von stochastischen Integratoren generiert werden, dar. Neben den erwähnten Hauptresultaten liefert diese Arbeit noch eine Reihe weiterer Ergebnisse. Das vielleicht Interessanteste ist rein algebraisch und liefert eine harakterisierung der schwachen Konvergenz endlicher Maße auf der positiven reellen Achse relativ kompakter Mengen des Skorokhod Raums ausgestattet mit der J1−Topologie. Zudem gibt es eine Verfeinerung eines klassischen Resultats über die Sprungzeiten von J1−konvergenten Folgen. Schließlich wird noch bewiesen, dass die konjugierte Young Funktion der Komposition einer moderaten Young Funktion mit R+ 3 x 7→ 12 x2 ∈ R+ eine moderate Young Funktion mit guten Eingeschäften ist.DFG, GRK 1845, Stochastische Analysis mit Anwendungen in Biologie, Finanzen und Physi

Levy processes G-Levy processes

55 σ.Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες στην Οικονομία”Οι χώροι υπογραμμικής μέσης τιμής αποτελούν το κατάλληλο πλαίσιο στο οποίο μπορούν να αντιμετωπιστούν προβλήματα του κλασσικού στοχαστικού λογισμού στα οποία εμπλέκεται οικογένεια από ιδιάζοντα μέτρα πιθανότητας. Στην παρούσα διπλωματική μελετώνται οι Levy διαδικασίες που ορίζονται στους χώρους αυτούς.Sublinear expectation spaces consist the suitable framework in which problems of classical case involve a family of singular measures. In the current thesis Levy processes defined in Sublinear Expectation Sapaces are studied.Αλέξανδρος Ν. Σαπλαούρα

Stability of backward stochastic differential equations: the general Lipschitz case

In this paper, we obtain stability results for backward stochastic differential equations with jumps (BSDEs) in a very general framework. More specifically, we consider a convergent sequence of standard data, each associated to their own filtration, and we prove that the associated sequence of (unique) solutions is also convergent. The current result extends earlier contributions in the literature of stability of BSDEs and unifies several frameworks for numerical approximations of BSDEs and their implementations.</p